もんさん、はじめまして。お母様のお体心配ですね。しばらくは、お母様の介護などで大変かと思いますが、ご兄妹で協力し合って乗り切ってください。
さて、ご質問の件ですが、住民票を移動しなくてもデイサービスや訪問介護等のサービスの利用は可能です。ただし、「地域密着型サービス」といわれる認知症対応型のグループホームやデイサービスは、市内の居住者でないと利用できません。お母様が利用されているデイサービスが地域密着型でないなら、そのまま利用できますよ。
万一、もんさんが今後お母様のお世話をすることになり住民票を移動する場合は、現在のお母様の居住地で転出の届出を行い転出証明書をもらいます。そのとき介護保険被保険者証を返却して、「介護保険受給資格証明書」をもらってください。この証明書を、もんさんの居住地の介護保険担当窓口に提出して介護認定の申請をします。
ただ、介護サービスの中には、インスリンを使用されている事で利用できないものもあります。インスリン注射は医療行為のためです。
そのあたりのことを担当のケアマネさんと相談なさってください。また、もし現在のデイサービスが糖尿病と分かる前に利用をはじめている場合、その施設でも対応ができないかもしれません。その点についてもケアマネさんに確認するようにしてくださいね。