こんにちは。老人保健施設で働く者です。一度、お父さんの住む地域の包括支援センターに相談してみてはいかがでしょうか。そういうケースはしばしばありますので、対応されている人もいると思います。家族親族から話を持ちかけると、どうしてもお互い感情的になり、最後は喧嘩別れに終わってしまったりもあります。役所の人間が、高齢者サービスについて説明にきた、ということでお願いするなど、糸口を探してもらってはいかがでしょうか。
それと同時に、ご家族はさまざまな施設を調べたり、見学などの下準備を始めていたほうがいいと思います。空き状況がまったくないようであれば、予約を入れておいたほうがいいでしょう。お父さんの説得と同時進行で、こちらも進めてみてください。そのほうが、タイミングを逃さずに早い段階で入居できる可能性が高まると思います。